Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$0 - \frac{1}{6}$

Paso 2.2.2

Resta $\frac{1}{6}$ de $0$ .

$- \frac{1}{6}$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Paso 5

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{\frac{1}{6}} [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Paso 6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 \cdot 6) [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Paso 7

Multiplica $- (1 \cdot 6)$ .

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Paso 7.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$- 1 \cdot 6 [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 [\begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{5} \end{array}]$

Paso 8

Multiplica $- 6$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - 6 \cdot 0 & - 6 (- \frac{1}{2}) \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 9.1

Multiplica $- 6$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 6 (- \frac{1}{2}) \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} 0 & - 6 (\frac{- 1}{2}) \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.2.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 (- 3) \frac{- 1}{2} \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} 0 & 2 \cdot - 3 \frac{- 1}{2} \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} 0 & - 3 \cdot - 1 \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ - 6 (- \frac{1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ - 6 (\frac{- 1}{3}) & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.4.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 3 (- 2) \frac{- 1}{3} & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.4.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.4.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ - 2 \cdot - 1 & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.5

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 2 & - 6 (\frac{1}{5}) \end{array}]$

Paso 9.6

Combina $- 6$ y $\frac{1}{5}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 2 & \frac{- 6}{5} \end{array}]$

Paso 9.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} 0 & 3 \\ 2 & - \frac{6}{5} \end{array}]$